المعامل الرئيس لكثيرة الحدود

المعامل الرئيس لكثيرة الحدود

جزء هام في علم الجبر والرياضيات تلك التعبيرات الرياضية التي تتكون من معاملات ثابتة ومتغيرات تحكُمها عمليات حسابية كالجمع والطرح والضرب والأسُس غير السالبة.

إنّ كثيرة الحدود يُمكن كتابتها بالصورة القياسية، دون الحاجة إلى ترتيب معين، وعند معرفة المعامل الرئيس لكثيرة الحدود يجب كتابتها بالترتيب.

أي من أكبر درجة إلى أصغر درجة، ثم معرفة المعامل الرئيس باعتبارُه الحد الأول في كثيرة الحدود التي تُرتب بالصورة القياسية التالية.

لا يفوتك أيضًا: استراتيجية جدول التعلم في الرياضيات

أجزاء كثيرة الحدود

في المعادلة الرياضية يُمكن أن نقسم كثيرة الحدود إلى عدد أجزاء، وفقًا لاستخدام كل جزء في حل المعادلة.

1- أحاديات الحدود

هو المتغيرات والثوابت، أو الثوابت منفردة، يحتوي على خصائص الجمع والطرح، فتعتبر تلك الأحاديات هي المكونات الرئيسية في كثيرة الحدود.

2- معامل الحد

هو العنصر الثابت الذي لا يتغير أبدًا، وفي حال لم يكن هناك أي متغيرات في الحد، يكون المعامل هو الحد نفسه، أما عن طريقة تعيينُه يتم إيضاحها من بعض الأمثلة.

لا يفوتك أيضًا: مقدمة بحث علمي عن الرياضيات كامل

تصنيف كثيرات الحدود

يتم التصنيف بناءً على العدد والدرجة، بالنظر إلى المعامل الرئيس في كثيرة الحدود.

1- عدد الحدود

فهُناك أحادي الحد (8س)، وثنائي الحدود (3س -4)، وثلاثي الحدود (4س + 5 س +2)، وما إلى ذلك إن زاد العدد في المعادلة عن 3 حدود.

2- درجة الحد

تلك التي تُحدد بالنظر إلى قيمة الأس الموجودة على المُتغير، ومن خلال مجموع قيم الأسس كاملة في المتغيرات المكونة في المعامل الحدي يكون حسابها، هذا إن كانت تحتوي على أكثر من متغير.

حيث تكون درجة كثيرة الحدود مساوية لدرجة الحد الأعلى من الحدود المكونة له.. ولكن ما الحال بكثيرة الحدود ذات الدرجة الصفرية؟

إنها تُعرف باسم الثابت، لأن قيمة الثابت لا تتغير، فهو يعني بدوره بوصف الكميات التي تتعرض إلى التغير، أما عن كثير الحدود ذو الدرجة الأولى فهو يُسمى “الخطي”.

لأنه يصف الكميات التي تشهد تغيرًا ولكن بمعدل ثابت، حيث يُستخدم في المسائل الهندسية ذات البعد الواحد.

أما عن المعادلة ذات الدرجة الثانية في كثيرة الحدود فإنها “كثيرة حدود تربيعية” تتعلق بالأبعاد الثنائية كما في المساحة.

العمليات الحسابية على كثيرات الحدود

من خلال الحدود المتشابهة، التي تمتلك نفس الأسس والمتغيرات يُمكن إجراء بعض العمليات الحسابية، ولا يُشترط أن تكون معاملاتها واحدة.

• الجمع: يتم ترتيب المسألة أولًا من خلال وضع الحدود المتشابهة مع بعضها، ثم جمعها.
• الطرح: من خلال إزالة الأقواس أولًا، قم توزيع إشارة الطرح على القوس الذي يليها لتغيير كل إشارة فيه، وعليه جمع الحدود المتشابهة.
• الضرب: من خلال توزيع كل حد من الحدود في المعادلة الأولى على الآخرين في المعادلة الثانية، ثم جمع الحدود المتشابهة.

1. ضرب الحدين ببعضهما.
2. ضرب المعاملات.
3. جمع الأسس.

مثال تدريبي على كثيرة الحدود

عادةً ما تتضح القاعدة من خلال الأمثلة التطبيقية، وهنا يُمكن فهم المعامل الرئيس لكثيرة الحدود من خلال المثال المحلول.

• أوجد الناتج: (3س²-6س+س ص) + (2س³-5س²-3ص) + (7س+8ص)؟

الإجابة: 2س³ + 3س²-5س² -6س+7س +س ص + 8ص -3ص = 2س³ -2س² +س +س ص + 5ص.

• إذا كانت أ = 4س4 -3س³+س²-5س+11، ب = -3س4+6س³-8س²+4س-3، جد ناتج أ-2×ب.

2×(-3س4+6س³-8س²+4س-3) = -6س4+12س³-16س²+8س-6.

أ-2ب = 4س4 -3س³+س²-5س+11 – (-6س4+12س³-16س²+8س-6)

= 4س4+6س4-3س³-12س³+س²+16س²-5س-8س+11+6 = 10س4-15س³+17س²-13س+17

وحيدات الحد في الرياضيات

نعلمُ أن التعبير الجبري رياضيًا يُبنى على الثوابت والمتغيرات، فعلى الجانب الآخر من كثيرة الحدود نجد وحيدة الحد، التي تُسمى (كثيرة حدود ذات حد واحد).

يُمكن أن تكون وحيدة الحد: (عدد ثابت، عدد متغير، حاصل ضرب أعداد ومتغيرات).

• 9، 6، 8
• س، ص، ع
• 2س ص

من الممكن أن يكون في وحيدة الحد أس “قوة” كما يُمكن جمع أسس المتغيرات لإيجاد درجة الدالة الأحادية، إلا أنها تتطلب بعض الشروط حتى تكون وحيدة الحد.

• لا تتضمن جمع أو طرح.
• تتضمن عملية الضرب فقط.
• لا تحتوي على متغير في المقام.
• تكون القوى والأسُس في البَسط أعداد صحيحة غير سالبة.
• يُمكن أن يحتوي المتغير على أُس سالب في المقام.

لا يفوتك أيضًا: ما ناتج عملية القسمة 29 تقسيم 725؟

ضرب وحيدة الحد

استكمالاً لحديثنا عن المعامل الرئيس لكثيرة الحدود لمّا كانت هي العملية الوحيدة التي تخضع إليها وحيدات الحدود، فإنها يجب أن تتكون من متغيرين لهما نفس الأساس، مع الاختلاف في الأس.

حيث يتم الضرب من خلال جمع الأسس وترك الأساس، وهو ما يعني بتبسيط العملية الجبرية حتى يُمكن حلها.. مثال: (6 ن³) * (2 ن⁷).

• (6 ×2) (ن³ × ن⁷)
• 12 × ن^{3 +7}
• 12 ن¹⁰